A legenda szerint a kiváló matematikusnak, Carl Friedrich Gaussnak nyolc éves korában sikerült kidolgoznia egy módszert, amellyel gyorsan egymás utáni számokat adhat hozzá 1 { displaystyle 1}
e 100{displaystyle 100}
. A base do pensamento envolve emparelhar os números no grupo e multiplicar a soma de cada par pela quantidade de pares. A partir desse método, torna-se possível derivar uma equação para somar os números consecutivos a1{displaystyle a_{1}}
até an{displaystyle a_{n}}
: Sn=n(a1+an2){displaystyle S_{n}=n\left({frac {a_{1}+a_{n}}{2}}\right)}
. Ele pode ser aplicado a qualquer série de números consecutivos, não apenas para aqueles que estão entre 1{displaystyle 1}
e 100{displaystyle 100}
Passos
Método 1 de 2: Usando a fórmula da soma de uma série
1. lépés Írja le a számtani sorozat összegének meghatározására szolgáló képletet
Ezt fejezi ki Sn = n (a1+an2) { displaystyle S_ {n} = n / left ({ frac {a_ {1}+a_ {n}} {2}} right)}
onde n{displaystyle n}
representa o número de termos presentes na série, a1{displaystyle a_{1}}
representa o primeiro número na série, an{displaystyle a_{n}}
representa o último número na série e Sn{displaystyle S_{n}}
representa a soma de números n{displaystyle n}
2. lépés. Írja be az értékeket a képletbe
Ez az a1 { displaystyle a_ {1}} cseréjéből áll
pelo primeiro termo na série e an{displaystyle a_{n}}
pelo último deles. Ao somar os números consecutivos de 1{displaystyle 1}
a 100{displaystyle 100}
tem-se que a1=1{displaystyle a_{1}=1}
e an=100{displaystyle a_{n}=100}
- Desse modo, a fórmula será expressa como: S100=n(1+1002){displaystyle S_{100}=n\left({frac {1+100}{2}}\right)}
3. lépés. Adja hozzá az értékeket a tört számlálójához, és ossza el az eredményt felére
Mint 100+1 = 101 { displaystyle 100+1 = 101}
você dividirá esse valor pela metade: 1012=50, 5{displaystyle {frac {101}{2}}=50, 5}
4. lépés: Szorozzuk meg az eredményt n { displaystyle n}
Isso dará a soma dos números consecutivos na série. Nesse exemplo, como você está somando números consecutivos até chegar em 100{displaystyle 100}
tem-se que n=100{displaystyle n=100}
. Desse modo, seria calculado 100(50, 5)=5.050{displaystyle 100\left(50, 5\right)=5.050}
. Assim, a soma dos números consecutivos entre 1{displaystyle 1}
e 100{displaystyle 100}
seria igual a 5.050{displaystyle 5.050}
- Para multiplicar rapidamente um número por 100{displaystyle 100}
basta mover a vírgula duas casas à direita.
Método 2 de 2: Usando a técnica de Gauss
1. lépés. Ossza fel a sorozatot két egyenlő csoportra
Annak meghatározásához, hogy hány szám van az egyes csoportokban, ossza fel ezt az összeget felére. A példában hogyan vannak az 1 { displaystyle 1} közötti számok?
e 100{displaystyle 100}
você calculará 1002=50{displaystyle {frac {100}{2}}=50}
- Desse modo, o primeiro grupo terá 50{displaystyle 50}
- O segundo grupo terá também 50{displaystyle 50}
números (de 1{displaystyle 1}
a 50{displaystyle 50}
).
números (de 51{displaystyle 51}
a 100{displaystyle 100}
).
2. lépés. Írja le az első csoportot az 1 -ből { displaystyle 1}
a 50{displaystyle 50}
em ordem crescente.
Ponha-os enfileirados, começando com 1{displaystyle 1}
e terminando com 50{displaystyle 50}
3. lépés. Írja le a második 100 -as csoportot { displaystyle 100}
a 51{displaystyle 51}
em ordem decrescente.
Ponha-os enfileirados sob o primeiro grupo. Comece de modo que o 100{displaystyle 100}
esteja alinhado ao 1{displaystyle 1}
o 99{displaystyle 99}
esteja alinhado ao 2{displaystyle 2}
e assim por diante.
4. lépés. Adjon hozzá minden függőleges számhalmazt
Ez azt jelenti, hogy kiszámítja az 1+100 = 101 { displaystyle 1+100 = 101}
2+99=101{displaystyle 2+99=101}
e assim por diante. Não é preciso realmente somá-los todos, pois você constatará que cada par somado resulta em 101{displaystyle 101}
5. lépés. Szorozz 101 { displaystyle 101}
por 50{displaystyle 50}
para determinar a soma dos números consecutivos de 1{displaystyle 1}
a 100{displaystyle 100}
multiplique o número de conjuntos (50{displaystyle 50}
) pela soma de cada par (101{displaystyle 101}
): 101(50)=5.050{displaystyle 101\left(50\right)=5.050}
. desse modo, a soma dos números consecutivos de 1{displaystyle 1}
a 100{displaystyle 100}
será igual a 5.050{displaystyle 5.050}
