Másodfokú, vagy másodfokú egyenlet az, amely csak egy változót tartalmaz, és ahol a legnagyobb teljesítmény 2. töltse ki a négyzetet. Ha meg szeretné tanulni, hogyan kell elsajátítani ezt a három módszert, kövesse az alábbi lépéseket.
lépések
1. módszer a 3 -ból: Az egyenlet faktorálása
1. lépés. Kombinálja az összes következő kifejezést, és helyezze őket az egyenlet egyik oldalára
Az egyenlet faktorálásának első lépése az, hogy az összes kifejezést az egyik oldalra helyezi, megtartva x2 { displaystyle x^{2}}
positivo. Para combinar os termos, some ou subtraia os x2{displaystyle x^{2}}
és az állandókat (számokat), átadva őket az egyenlet egyik oldalára, hogy semmi ne maradjon a másik oldalon. Mivel ennek az oldalnak nincsenek fennmaradó feltételei, csak írjon"
-
2x2-8x − 4 = 3x − x2 { displaystyle 2x^{2} -8x-4 = 3x-x^{2}}
- 2x2+x2−8x−3x−4=0{displaystyle 2x^{2}+x^{2}-8x-3x-4=0}
- 3x2−11x−4=0{displaystyle 3x^{2}-11x-4=0}
2. lépés. Faktorozza a kifejezést
Ehhez az x2 kifejezés tényezőit kell használnia { displaystyle x^{2}}
quando igual a (3), e os fatores do termo constante (-4), para multiplicá-los e somar o termo médio (-11). Para isso:
- Uma vez que 3x2{displaystyle 3x^{2}}
- A seguir, use o processo de eliminação para inserir os fatores de 4 a fim de encontrar uma combinação que produza -11x, quando multiplicada. Você pode combinar 4 e 1 ou 2 e 2, já que ambos os números se multiplicam para chegar a 4. Lembre-se apenas de que um dos termos deve ser negativo, uma vez que se trata de -4.
- Por tentativa e erro, experimente a combinação de fatores (3x+1)(x−4){displaystyle (3x+1)(x-4)}
- Como exemplo de tentativa e erro, tentemos conferir uma combinação para 3x2−11x−4=0{displaystyle 3x^{2}-11x-4=0}
tem um conjunto de fatores possíveis, 3x{displaystyle 3x}
e x{displaystyle x}
você pode escrevê-los entre parênteses: (3x±?)(x±?)=0{displaystyle (3x\pm ?)(x\pm ?)=0}
. Ao multiplicá-los, você obterá 3x2−12x+x−4{displaystyle 3x^{2}-12x+x-4}
. Se combinar os termos −12x{displaystyle -12x}
e x{displaystyle x}
você obterá −11x{displaystyle -11x}
o termo médio que estava buscando. A equação quadrática acaba de ser fatorada.
que seja errada (não funcionará): (3x−2)(x+2)=3x2+6x−2x−4{displaystyle (3x-2)(x+2)=3x^{2}+6x-2x-4}
. Se combinar os termos, você obterá 3x2−4x−4{displaystyle 3x^{2}-4x-4}
. Apesar dos fatores -2 e 2 se multiplicarem para chegar em -4, o termo médio não é correto, pois o resultado deve ser −11x{displaystyle -11x}
não −4x{displaystyle -4x}
Lépés 3. Határozza meg a nulla egyenlő zárójelek halmazát külön egyenletként
Így két értéket talál az x { displaystyle x} számára
que igualam toda a equação a zero, (3x+1)(x−4)=0{displaystyle (3x+1)(x-4)=0}
. Most, hogy az egyenletet figyelembe vettük, mindössze annyit kell tennie, hogy a zárójelben lévő kifejezést nullával egyenlőnek alkalmazza. Miért? Mert ahhoz, hogy szorzáskor nullára jussunk, muszáj"
deve ser igual a zero. Por isso, (3x+1){displaystyle (3x+1)}
ou (x−4){displaystyle (x-4)}
devem se igualar a zero. Para descobrir, você deve calcular 3x+1=0{displaystyle 3x+1=0}
e x−4=0{displaystyle x-4=0}
4. lépés. Oldja meg minden "nullázott" egyenletet függetlenül
Egy másodfokú egyenletben két lehetséges érték lesz x -re. Keresse meg minden egyes x lehetőségnél, egyenként, különítse el a változót, és írja be a két megoldást véglegesnek. Itt megtudhatja, hogyan kell csinálni:
-
3x+1 = 0 megoldása { displaystyle 3x+1 = 0}
:
- 3x=−1{displaystyle 3x=-1}
subtraindo;
- 3x3=−13{displaystyle {frac {3x}{3}}={frac {-1}{3}}}
- x=−13{displaystyle x={frac {-1}{3}}}
dividindo;
simplificando.
:
- x=4{displaystyle x=4}
subtraindo.
fazendo um conjunto de soluções possíveis e separadas, de modo que tanto x=−13{displaystyle x={frac {-1}{3}}}
quanto x=4{displaystyle x=4}
estão corretas.
5. lépés. Ellenőrizze az x = −13 { displaystyle x = { frac {-1} {3}}} lehetőséget.
em (3x+1)(x−4)={displaystyle (3x+1)(x-4)=0}
- Considera-se que [3(−13)+1][(−13)−4]=0{displaystyle [3({frac {-1}{3}})+1][({frac {-1}{3}})-4]=0}
que é substituído por (−1+1)(−4×13)=0{displaystyle (-1+1)(-4\times {frac {1}{3}})=0}
simplificado para (0)(−4×13)=0{displaystyle (0)(-4\times {frac {1}{3}})=0}
e multiplicado para 0=0{displaystyle 0=0}
. Conclui-se, portanto, que x=−13{displaystyle x={frac {-1}{3}}}
é funcional.
6. lépés. Elemezze x = 4 { displaystyle x = 4}
em (3x+1)(x−4)={displaystyle (3x+1)(x-4)=0}
- Tem-se que [3(4)+1][(4)−4]=0{displaystyle [3(4)+1][(4)-4]=0}
- Desse modo, ambas as soluções servem, separadamente, e ambas foram verificadas como funcionais e corretas para as duas soluções diferentes.
que é substituído por (13)(4−4)=0{displaystyle (13)(4-4)=0}
simplificado para (13)(0)=0{displaystyle (13)(0)=0}
e multiplicado para 0=0{displaystyle 0=0}
. Sim, x=4{displaystyle x=4}
é válido.
Método 2 de 3: Usando a fórmula quadrática
1. lépés. Kombinálja az összes hasonló kifejezést, és helyezze át az egyenlet egyik oldalára
Helyezze át őket az egyenlőség egyik oldalára az x2 { displaystyle x^{2}} megtartásával
positivo. Escreva-os em ordem descendente de potência, de modo que x2{displaystyle x^{2}}
venha em primeiro lugar, seguido por x{displaystyle x}
e pela constante. Aprenda aqui como fazê-lo:
- 4x2−5x−13=x2−5{displaystyle 4x^{2}-5x-13=x^{2}-5}
- 4x2−x2−5x−13+5=0{displaystyle 4x^{2}-x^{2}-5x-13+5=0}
- 3x2−5x−8=0{displaystyle 3x^{2}-5x-8=0}
2. lépés Írja be a másodfokú képletet
Ez a képlet, más néven Bhaskara formula, −b ± b2−4ac2a { displaystyle { frac {-b / pm { sqrt {b^{2} -4ac}}} {2a}}}
3. lépés. Azonosítsa a { displaystyle a} értékeit
b{displaystyle b}
e c{displaystyle c}
na equação.
A variável a{displaystyle a}
representa o coeficiente do termo x2{displaystyle x^{2}}
a variável b{displaystyle b}
representa o coeficiente do termo x{displaystyle x}
e a variável c{displaystyle c}
representa a constante. Na equação 3x2−5x−8=0{displaystyle 3x^{2}-5x-8=0}
tem-se que a=3{displaystyle a=3}
b=−5{displaystyle b=-5}
e c=−8{displaystyle c=-8}
. Anote esses valores.
4. lépés. Cserélje ki a { displaystyle a} értékeit
b{displaystyle b}
e c{displaystyle c}
na equação.
Agora que conhece os valores das três variáveis, coloque-os na equação da seguinte maneira:
- −b±b2−4ac2a{displaystyle {frac {-b\pm {sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}}
- −(−5)±(−5)2−4(3)(−8)2(3){displaystyle {frac {-(-5)\pm {sqrt {(-5)^{2}-4(3)(-8)}}}{2(3)}}}
- −(−5)±(−5)2−(−96)2(3){displaystyle {frac {-(-5)\pm {sqrt {(-5)^{2}-(-96)}}}{2(3)}}}
5. lépés. Végezze el a számításokat
A számok bevitele után végezze el a szükséges számításokat a pozitív vagy negatív előjelek egyszerűsítése érdekében, és szorozza meg vagy négyzetelje a fennmaradó kifejezéseket. Megjegyzés:
- -(-5) ± (−5) 2-(-96) 2 (3) { displaystyle { frac {-(-5) pm { sqrt {(-5)^{2}-(-96)}}} {2 (3)}}}
- 5±25+966{displaystyle {frac {5\pm {sqrt {25+96}}}{6}}}
- 5±(121)6{displaystyle {frac {5\pm {sqrt {(121)}}}{6}}}
6. lépés: Egyszerűsítse a négyzetgyököt
Ha a gyök alatti szám tökéletes négyzet, akkor egész számot kapunk. Ellenkező esetben csökkentse a legegyszerűbb radikális verzióra. Ha a szám negatív, és biztos benne, hogy negatívnak kell lennie, akkor a gyökerek összetettek lesznek. Ebben a példában 121 = 11 { displaystyle { sqrt {121}} = 11}
. Você pode escrever que x=5±116{displaystyle x={frac {5\pm 11}{6}}}
7. lépés. Határozza meg, hogy megtalálja a pozitív és a negatív válaszokat
Ha megszüntette a négyzetgyököt, addig folytathatja, amíg meg nem találja az x pozitív és negatív eredményeit. Most, hogy 5 ± 116 { displaystyle { frac {5 / pm 11} {6}}} van
você pode escrever duas opções:
- 5+116{displaystyle {frac {5+11}{6}}}
- 5−116{displaystyle {frac {5-11}{6}}}
8. lépés. Oldja meg a pozitív és negatív értékeket
Végezze el a számításokat:
- 5+116 = 166 { displaystyle { frac {5+11} {6}} = { frac {16} {6}}}
- 5−116=−66{displaystyle {frac {5-11}{6}}={frac {-6}{6}}}
9. lépés. Egyszerűsítse
Az egyes válaszok egyszerűsítése érdekében ossza el őket a legnagyobb számmal, amely mindkét értékkel egyenlően osztható. Ossza el az első törtet 2 -vel, majd a másodikat 6 -tal, és megtalálta az x { displaystyle x} értékét
- 166=83{displaystyle {frac {16}{6}}={frac {8}{3}}}
- −66=−1{displaystyle {frac {-6}{6}}=-1}
- x=(−1, 83){displaystyle x=(-1, {frac {8}{3}})}
Método 3 de 3: Completando o quadrado
1. lépés. Mozgassa az összes kifejezést az egyenlet egyik oldalára
Ne feledje, ha a { displaystyle a}
ou o x2{displaystyle x^{2}}
são positivos. Observe:
- 2x2−9=12x{displaystyle 2x^{2}-9=12x}
- 2x2−12x−9=0{displaystyle 2x^{2}-12x-9=0}
- Nessa equação, o termo a{displaystyle a}
é igual a 2, o termo b{displaystyle b}
é igual a -12 e o termo c{displaystyle c}
é igual a -9.
2. lépés Adja át a c kifejezést { displaystyle c}
a constante, para o outro lado.
Ela é o valor numérico que não está acompanhado por uma variável. Passe-a para o lado direito da equação:
- 2x2−12x−9=0{displaystyle 2x^{2}-12x-9=0}
- 2x2−12x=9{displaystyle 2x^{2}-12x=9}
3. lépés. Oszd el mindkét oldalt a { displaystyle a} kifejezések együtthatójával
ou x2{displaystyle x^{2}}
Se x2{displaystyle x^{2}}
não vier acompanhado de nenhum termo, possuindo apenas um coeficiente igual a 1, esse passo pode ser ignorado. Nessa situação, você terá que dividir todos os termos por 2, da seguinte maneira:
- 2x22−12x2=92{displaystyle {frac {2x^{2}}{2}}-{frac {12x}{2}}={frac {9}{2}}}
- x2−6x=92{displaystyle x^{2}-6x={frac {9}{2}}}
4. lépés. B felosztás { displaystyle b}
por 2, eleve-o ao quadrado e some o resultado em ambos os lados.
O termo b{displaystyle b}
no exemplo é igual a -6. Veja a seguir:
- −62=−3{displaystyle {frac {-6}{2}}=-3}
- (−3)2=9{displaystyle (-3)^{2}=9}
- x2−6x+9=92+9{displaystyle x^{2}-6x+9={frac {9}{2}}+9}
5. lépés: Egyszerűsítse mindkét oldalt
Számolja ki a jobb oldalon található kifejezéseket, hogy megkapja (x − 3) (x − 3) { displaystyle (x-3) (x-3)}
ou (x−3)2{displaystyle (x-3)^{2}}
. Some aqueles que estiverem no lado direito para obter 92+9{displaystyle {frac {9}{2}}+9}
ou 92+182{displaystyle {frac {9}{2}}+{frac {18}{2}}}
resultando em 272{displaystyle {frac {27}{2}}}
6. lépés. Keresse meg mindkét oldal négyzetgyökét.
Az (x − 3) 2 négyzetgyöke { displaystyle (x-3)^{2}}
é simplesmente (x−3){displaystyle (x-3)}
. Você pode escrever a raiz quadrada de 272{displaystyle {frac {27}{2}}}
como ±(272){displaystyle \pm ({sqrt {frac {27}{2}}})}
. Logo, x−3=±(272){displaystyle x-3=\pm ({sqrt {frac {27}{2}}})}
7. lépés: Egyszerűsítse a gyököt és számítsa ki x értékét
Az egyszerűsítés érdekében ± (272) { displaystyle / pm ({ sqrt { frac {27} {2}}})}
procure por um quadrado perfeito dentro dos números 27 ou 2 ou, ainda, em seus fatores. o quadrado perfeito 9 pode ser encontrado em 27 porque 9×3=27{displaystyle 9\times 3=27}
. para extrair 9 do radical, tire-o de seu interior e escreva o número 3, sua raiz quadrada, do lado de fora. deixe o 3 no numerador da fração, sob o radical, uma vez que o fator de 27 não pode ser extraído, e deixe 2 no denominador. a seguir, passe a constante 3 do lado esquerdo da equação para a direita e escreva as duas soluções para x{displaystyle x}
:
- x=3+62{displaystyle x=3+{frac {sqrt {6}}{2}}}
- x=3−62{displaystyle x=3-{frac {sqrt {6}}{2}}}
dicas
- como se pode ver, o radical não desapareceu completamente. logo, os termos no numerador não podem ser combinados (porque não são semelhantes). não há propósito em separar o sinal de mais ou menos. em vez disso, faz-se a divisão por quaisquer fatores comuns - mas apenas se o fator for comum às constantes e ao coeficiente do radical.
- se o número debaixo da raiz quadrada não for um quadrado perfeito, os últimos passos ficarão um pouco diferentes.
- se b{displaystyle b}
for um número par, a fórmula será: −(b2±b2−aca{displaystyle {frac {-({frac {b}{2}}}{pm }}{frac {sqrt {{frac {b}{2}}-ac}}{a}}}
