A radikális kifejezés olyan algebrai kifejezés, amely négyzet alakú, köbös vagy más rendű gyököt tartalmaz. Gyakori, hogy ezek a kifejezések ugyanazt a számot írják le, annak ellenére, hogy egészen másnak tűnnek (pl. 1/(√ (2) - 1) = √ (2) +1). A megoldás az, hogy válasszon nekik egy előnyben részesített "kanonikus formát". Ha két kifejezés, mindkettő kanonikus formában, mégis másnak tűnik, valójában nem ugyanazt a számot képviselik. A matematikusok egyetértenek abban, hogy a radikális kifejezések kanonikus formájának:
- Kerülje a gyökökben lévő frakciókat;
- Kerülje a töredékes kitevőket;
- Kerülje a gyököket a nevezőben;
- Kerülje a gyökök gyökökkel való szaporítását;
- Csak legyenek kifejezések a négyzetgyökön kívül a gyökök alatt.
Ennek az űrlapnak a gyakorlati felhasználása megtalálható a feleletválasztós tesztekben. Ha megold egy problémát, de nem találja a választ az alternatívák között, próbálja egyszerűsíteni a kérdést kanonikus formára. Mivel a tesztszerzők gyakran ilyen formában adják meg a válaszokat, ugyanezt tegye meg a tiéddel is, és nyilvánvalóvá válik, melyik a helyes válasz. Az esszé tesztekben az olyan utasítások, mint az "egyszerűsítse meg válaszát" vagy "egyszerűsítse az összes tövet" azt jelentik, hogy a tanulónak a következő lépéseket kell alkalmaznia, amíg a válasz meg nem felel a fent leírt kanonikus formának. Ez az űrlap hasznos lehet egyenletek megoldásában is, bár néhányat könnyebb megoldani nem kanonikus formával.
lépések
1. lépés Ha szükséges, olvassa el újra a gyökök és kitevők manipulálásának szabályait (ezek ugyanazok:
a gyökerek töredékes hatalmak), mivel legtöbbjükre szükség van ehhez a folyamathoz. Tekintse át a polinomok és a racionális kifejezések manipulálására és egyszerűsítésére vonatkozó szabályokat is, mivel ezekre is szükség lesz az egyszerűsítéshez.
1. módszer a 6 -ból: Tökéletes erők
1. lépés: Egyszerűsítse a gyököket, amelyek tökéletes négyzetek
Bármely szám szorzatát képezik, amelyet önmagával megszoroznak, például 81, ami a 9 x 9 szorzata. A radikálison belüli tökéletes négyzet egyszerűsítéséhez csak távolítsa el a szimbólumot a radikálisból, és írja be a négyzetgyök eredményét.
- Például a 121 tökéletes négyzet, mert a 11 x 11 egyenlő a 121 -gyel. Tehát a √ (121) értéket 11 -re egyszerűsítheti a négyzetgyök szimbólum eltávolításával.
- A folyamat megkönnyítése érdekében jegyezze meg az első 12 tökéletes négyzetet: 1 x 1 = 1, 2 x 2 = 4, 3 x 3 = 9, 4 x 4 = 16, 5 x 5 = 25, 6 x 6 = 36, 7 x 7 = 49, 8 x 8 = 64, 9 x 9 = 81, 10 x 10 = 100, 11 x 11 = 121, 12 x 12 = 144
2. lépés: Egyszerűsítse a gyököket, amelyek tökéletes kockák
Bármilyen szám szorzatát szorozzák meg önmagával kétszer, például 27 -gyel, ami a 3 x 3 x 3 szorzata. A radikális kifejezés egyszerű kockával való egyszerűsítése érdekében egyszerűen távolítsa el a szimbólumot a gyökből, és írja le a köbgyök eredményét a tökéletes kocka.
Például a 343 tökéletes kocka, mert 7 x 7 x 7 szorzata. Tehát a tökéletes 343 kocka kockagyöke 7
2. módszer a 6 -ból: A racionális exponensek átalakítása radikálisokká
Vagy konvertálja át más módon, ha úgy tetszik (néha jó okuk van rá), de ne keverje össze az olyan kifejezéseket, mint a √ (5) + 5(3/2) ugyanabban a kifejezésben. Tegyük fel, hogy úgy dönt, hogy radikális jelölést használ, és az √ (n) értéket használja n és négyzetgyökére 3√ (n) a köbgyökért.
1. lépés Keresse meg a tört kitevőt, és alakítsa át az x gyök ekvivalenssé(a/b) = x gyöke bAz
- Ha a gyök indexe töredék, akkor is szabaduljon meg tőle. Például a 4 gyökere (2/3) = √ (4)3 = 23 = 8.
2. lépés. A negatív kitevőket alakítsa át egyenértékű törtekké:
x-y = 1/y
- Ez csak az állandó és racionális kitevőkre vonatkozik. Ha vannak olyan kifejezések, mint a 2x, hagyja őket olyannak, amilyenek, még akkor is, ha a probléma kontextusa azt sugallja, hogy x töredék vagy negatív lehet.
3. lépés. kombinálja a hasonló kifejezéseket és egyszerűsítse az ebből adódó racionális kifejezéseket.
3. módszer a 6 -ból: Távolítsa el a radikális töredékeket
A kanonikus forma megköveteli a tört tövének kifejezését egész gyökben.
1. lépés. Vizsgálja meg az egyes csoportok alatti kifejezéseket, hogy nem tartalmaznak -e törteket
Pozitív esetben:
2. lépés. Cserélje ki két gyök közötti felosztással a √ (a/b) = √ (a)/√ (b) azonosság használatával
Ne használjon ilyen azonosságot, ha a nevező negatív, vagy változó kifejezés lehet negatív. Ebben az esetben először egyszerűsítse a törtet
3. lépés: Egyszerűsítse a felbukkanó tökéletes négyzeteket, vagyis konvertálja a √ (5/4) értéket √ (5)/√ (4) -re, és egyszerűsítse, amíg el nem éri az √ (5)/2 értéket
4. lépés. Végezzen más egyszerűsítéseket, például csökkentse az összetett frakciókat, kombinálja a hasonló kifejezéseket stb
4. módszer a 6 -ból: Kombinálja a radikális termékeket
1. lépés. Ha egy gyökös kifejezést megszorozunk egy másikkal, akkor egyesítsük őket egyetlen radikálissá a következő tulajdonság használatával:
√ (a)*√ (b) = √ (ab). Például cserélje ki a √ (2)*√ (6) √ (12) -re.
- A fenti azonosság, √ (a)*√ (b) = √ (ab), a nem negatív radicandokra vonatkozik. Ne alkalmazza az a-t, ha a és b negatív, mert így hamis állítást adna: √ (-1)*√ (-1) = √ (1). A bal oldal definíció szerint -1 (vagy nem definiált, ha nem hajlandó felismerni a komplex számokat), míg a jobb oldal +1. Ha a vagy b negatív, először "javítsa" ezt a jelet √ (-5) = i*√ (5) -vel. Ha a gyök változó kifejezés, amelynek előjele nem vezethető le a kontextusból, hagyja azt most. Használhatja az általánosabb azonosságot, √ (a)*√ (b) = √ (sgn (a))*√ (sgn (b))*√ (| ab |), amely minden a és valós számra érvényes b, de általában nem érdemes hozzáadni a jelfüggvény összetettségét.
- Ez az azonosság csak akkor érvényes, ha a gyökök azonos indexűek. Meg lehet szaporítani az általános gyököket, például √ (5)*3√ (7), először közös mutatóval fejezve ki őket. Ehhez a gyökereket átmenetileg töredékes kitevőkké kell alakítani: √ (5)*3√(7) = 5(1/2) * 7(1/3) = 5(3/6) * 7(2/6) = 125(1/6) * 49(1/6). Ezután alkalmazza a termékszabályt, hogy a termék egyenlő legyen a 6125 hatodik gyökével.
5. módszer a 6 -ból: Vegye ki a négyzetfaktorokat a gyökökből
1. lépés Fejezzen ki tökéletlen radikális kifejezést tényezőiben
Ezek olyan számok, amelyek megszorozva újabb számot hoznak létre; például az 5 és a 4 a 20. szám két tényezője. Egy tökéletlen radikális kifejezés megosztásához írja le a szám összes tényezőjét (vagy amennyit csak tud, ha a szám nagy), amíg meg nem találja a tökéletes négyzetet.
- Például próbálja felsorolni a 45 -ös szám összes tényezőjét: 1, 3, 5, 9, 15 és 45. A 9 egy 45 -ös tényező, ami szintén tökéletes négyzet (9 = 32). 9 x 5 = 45.
2. Lépés: Vegye ki azokat a tényezőket, amelyek tökéletes gyökerei a gyöknek
A 9 négyzetgyök, mert 3 x 3. szorzata. Vegye ki a gyökből, és tegyen elé egy 3 -at, az 5 -öt pedig hagyja a gyökben. Ha "visszaadod" a 3 -at a radikálisnak, akkor magától megszorozva újra létrejön a 9, ami az 5 -öt megszorozva újra 45 lesz. A 3 gyök 5 -ből csak leegyszerűsített módja a 45 -ös gyökének.
Vagyis √ (45) = √ (9*5) = √ (9)*√ (5) = 3*√ (5)
3. Keresse meg a tökéletes négyzetet a változóban
A négyzetgyöke a második hatványhoz | a | lenne. Csak akkor egyszerűsíthet "a" -ra, ha tudja, hogy a változó pozitív. Az a köbgyöke a harmadik hatványra leegyszerűsíthető, mint a négyzet a négyzetgyöke, mert a kitevőket akkor adjuk hozzá, amikor a változókat megszorozzuk úgy, hogy az a négyzete a -val egyenlő legyen a harmadikkal.
Tehát a tökéletes négyzet az a -tól a kockáig egy négyzet
Lépés 4. Vegye ki a radikálisból azokat a változókat, amelyek tökéletes négyzetek
Ezután vegyük a négyzetet, és vegyük ki a gyökből, hogy | a | -vá alakítsuk egyszerű. A kockák egyszerűsített formája csak | a | gyökere.
5. lépés Kombinálja a hasonló kifejezéseket, és egyszerűsítse az ennek eredményeként felmerülő racionális kifejezéseket
6. módszer a 6 -ból: Racionalizálja a nevezőt
1. lépés. A kanonikus forma megköveteli, hogy a nevező egész legyen, vagy polinom, ha meghatározatlanokat tartalmaz
-
Ha a nevezőt egy gyökön belüli kifejezés alkotja, mint például [x]/√ (5), szorozzuk meg a számlálót és a nevezőt ezzel a gyökkel, hogy megkapjuk a [x]*√ (5)/√ (5)*√ (5)) = [x]*√ (5)/5.
- Köbös vagy nagyobb gyökerek esetén szorozzuk meg a gyök megfelelő erősségével, hogy racionális legyen a nevező. Ha a nevező az 3√ (5), szorozzuk meg a számlálót és a nevezőt 3√(5)2.
-
Ha a nevező négyzetgyök összege vagy különbsége, például √ (2) + √ (6), szorozzuk meg a számlálót és a nevezőt ugyanazzal a kifejezéssel, amely az ellenkező operátorral van konjugálva. Így [x]/(√ (2) + √ (6)) = [x] (√ (2) -√ (6))/(√ (2) + √ (6)) (√ (2)- √ (6)). Ezután használja a négyzetkülönbség azonosságát [(a+b) (a-b) = a2-B2] a nevező racionalizálásához, egyszerűsítve (√ (2) + √ (6)) (√ (2) -√ (6)) = √ (2)^2 -√ (6)^2 = 2-6 = -4.
- Ez a lépés az olyan nevezőknél is működik, mint az 5 + √ (3), mivel minden egész egy másik egész négyzetgyöke. [1/(5 + √ (3)) = (5-√ (3))/(5 + √ (3)) (5-√ (3)) = (5-√ (3))/(52-√(3)2) = (5-√(3))/(25-3) = (5-√(3))/22]
- Ez a módszer négyzetgyök összegére működik, például √ (5) -√ (6)+√ (7). Ha (√ (5) -√ (6))+√ (7) néven csoportosítja, és megszorozza (√ (5) -√ (6))-√ (7), akkor a válasz nem lesz racionális, de legyen a következő: a+b*√ (30), ahol a és b racionális. Ezután megismételheti a folyamatot a+b*√ (30) konjugátumával, és (a+b*√ (30)) (a-b*√ (30)) ésszerű. Ezzel a trükkel egyszer csökkentheti a gyökök számát a nevezőben, és többször is, hogy mindegyiket megszüntesse.
- Még nagyobb gyökereket tartalmazó nevezőkkel is működik, mint például a 3 négyes gyöke és a hetedik gyöke. Csak megszorozzuk a számlálót és a nevezőt a nevező konjugátumával. Sajnos a nevező konjugátumának megtalálásának folyamata nem ilyen egyértelmű. Ennek megértéséhez keressen egy jó könyvet az algebrai számelméletről.
2. lépés Most a nevezőt racionalizálták, de a számláló rendetlenség
A kezdő szám plusz a nevező konjugátumának háromszorosa lesz. Bontsa ki a terméket, mint egy polinom szorzatot. Nézze meg, hogy lehet -e valamit törölni vagy egyszerűsíteni, és ha lehetséges, egyesítse a hasonló kifejezéseket.
3. lépés. Ha a nevező negatív egész szám, akkor szorozzuk meg a számlálót és a nevezőt -1 -gyel, hogy pozitív legyen
Tippek
- Kereshet olyan webhelyeket, amelyek leegyszerűsítik a radikális kifejezést. Csak írja be az egyenletet a radikálisba, és nyomja meg az Enter billentyűt, és megjelenik az egyszerűsített válasz.
- A fenti lépések közül sok nem használható egyszerű problémákra. A bonyolultabbak esetében előfordulhat, hogy néhány lépést többször kell végrehajtani. Folyamatosan hajtsa végre az egyszerűsítéseket a probléma megoldása során, és ellenőrizze a végső választ, hogy megfelel -e a bevezetőben leírt kanonikus forma kritériumainak. Ha a válasz kanonikus, akkor kész. Amíg ez nem kanonikus, az alábbi lépések egyike megmutatja, hogy mit kell még tennie az űrlap eléréséhez.
- A radikális kifejezés "preferált kanonikus formájára" való hivatkozások többsége komplex számokra is vonatkozik (i = √ (-1)). Még akkor is, ha radikális helyett i -vel írják, kerülje az i -t a nevezőben.
- A fenti utasítások egy része feltételezi, hogy minden gyök négyzetgyök. Az általános elvek ugyanazok a köbös vagy nagyobb gyökereknél, bár néhány közülük, különösen a nevező racionalizálása, nehezebben alkalmazható. Azt is el kell döntenie, hogy szeretne -e ilyen kifejezéseket 3√ (4) vagy 3√(2)2 (a tankönyvek által preferált formától függően).
- Az utasítások egy része rosszul használja a "kanonikus forma" kifejezést, bár valójában csak a normál formát írja le. A különbség az, hogy a kanonikus formához 1+√ (2) vagy √ (2) +1 szükséges, és a másik nem megfelelő, míg a normál forma feltételezi, hogy Ön, olvasó, elég okos ahhoz, hogy felismerje, hogy a két szám "nyilvánvalóan ugyanazok", még akkor is, ha nem ugyanúgy írják őket. A "nyilvánvaló" ebben az esetben azt jelenti, hogy csak olyan számtani tulajdonságokat kell használni, mint az összeadás, ami kommutatív, nem pedig algebrai tulajdonságok (√ (2) x nem negatív gyöke2-2). Reméljük, hogy az olvasók megbocsátják ezt a kis visszaélést a terminológiával.
- Ha az utasítások kétértelműnek vagy ellentmondónak tűnnek, hajtsa végre az összes következetes és egyértelmű lépést, és válassza ki azt a formát, amely leginkább megfelel a könyvében szereplő radikális kifejezéseknek.
