Számos okból előfordulhat, hogy meg kell határoznia egy adott másodfokú függvény maximális vagy minimális értékét. Ezt az értéket akkor találhatja meg, ha az eredeti függvény általános formában van írva, f (x) = ax2+bx+c { displaystyle f (x) = ax^{2}+bx+c}
ou padrão, f(x)=a(x−h)2+k{displaystyle f(x)=a(x-h)^{2}+k}
. Finalmente, você também pode usar conceitos de Cálculo básico para definir o valor máximo ou mínimo de qualquer função quadrática.
Passos
Método 1 de 3: Começando com a forma genérica da função
1. lépés. Írja be a függvényt általános formában
A másodfokú függvény olyan, amelynek van egy x2 kifejezése { displaystyle x^{2}}
. Ela pode ou não conter um termo x{displaystyle x}
sem expoente. Nesse caso, não deve haver expoente maior que 2. A forma genérica é f(x)=ax2+bx+c{displaystyle f(x)=ax^{2}+bx+c}
. Se necessário, combine termos similares e reordene-os para adequar a função à forma genérica.
- Por exemplo, suponha que você tenha começado com f(x)=3x+2x−x2+3x2+4{displaystyle f(x)=3x+2x-x^{2}+3x^{2}+4}
- f(x)=2x2+5x+4{displaystyle f(x)=2x^{2}+5x+4}
. Combine os termos x2{displaystyle x^{2}}
e os termos x{displaystyle x}
para obter a equação em sua forma genérica:
2. lépés. Határozza meg a grafikon irányát
Egy másodfokú függvény egy parabola grafikonját eredményezi, amely kinyílik vagy felfelé nyílik. Ha egy { displaystyle a}
o coeficiente do termo x2{displaystyle x^{2}}
for positivo, a parábola estará voltada para cima. Se, por outro lado, a{displaystyle a}
for negativo, ela estará voltada para baixo. Observe os exemplos seguintes:
- Para f(x)=2x2+4x−6{displaystyle f(x)=2x^{2}+4x-6}
- Para f(x)=−3x2+2x+8{displaystyle f(x)=-3x^{2}+2x+8}
- Para f(x)=x2+6{displaystyle f(x)=x^{2}+6}
- Se a parábola estiver voltada para cima, você encontrará seu valor mínimo. De outro modo, caso esteja voltada para baixo, o valor máximo será encontrado.
a=2{displaystyle a=2}
de modo que a parábola se abre para cima.
a=−3{displaystyle a=-3}
de modo que a parábola se abre para baixo.
a=1{displaystyle a=1}
de modo que a parábola se abre para cima.
3. lépés. Számítsa ki -b/2a
A −b2a { displaystyle -{ frac {b} {2a}}} értéke
representa o valor x{displaystyle x}
do vértice da parábola. Quando a função quadrática está escrita em sua forma genérica ax2+bx+c{displaystyle ax^{2}+bx+c}
use os coeficientes x{displaystyle x}
e x2{displaystyle x^{2}}
da seguinte maneira:
- Para uma função f(x)=x2+10x−1{displaystyle f(x)=x^{2}+10x-1}
- x=−b2a{displaystyle x=-{frac {b}{2a}}}
- x=−10(2)(1){displaystyle x=-{frac {10}{(2)(1)}}}
- x=−105{displaystyle x=-{frac {10}{5}}}
- x=−5{displaystyle x=-5}
- Como segundo exemplo, considere a função f(x)=−3x2+6x−4{displaystyle f(x)=-3x^{2}+6x-4}
- x=−b2a{displaystyle x=-{frac {b}{2a}}}
- x=−6(2)(−3){displaystyle x=-{frac {6}{(2)(-3)}}}
- x=−6−6{displaystyle x=-{frac {6}{-6}}}
- x=−(−1){displaystyle x=-(-1)}
- x=1{displaystyle x=1}
a=1{displaystyle a=1}
e b=10{displaystyle b=10}
. Logo, para encontrar o valor do vértice:
. Nesse exemplo, a=−3{displaystyle a=-3}
e b=6{displaystyle b=6}
. Logo, para encontrar o valor x do vértice:
4. lépés Keresse meg a megfelelő f (x) értéket
Írja be az x újonnan kiszámított értékét a függvénybe, hogy megtalálja a megfelelő f (x) értéket. Ez a funkció maximumát vagy minimumát képviseli.
-
A fenti példában f (x) = x2+10x − 1 { displaystyle f (x) = x^{2}+10x-1}
você calculou o valor x para o vértice como sendo x=−5{displaystyle x=-5}
. Insira −5{displaystyle -5}
no x{displaystyle x}
da função para determinar o valor máximo.
- f(x)=x2+10x−1{displaystyle f(x)=x^{2}+10x-1}
- f(x)=(−5)2+10(−5)−1{displaystyle f(x)=(-5)^{2}+10(-5)-1}
- f(x)=25−50−1{displaystyle f(x)=25-50-1}
- f(x)=−26{displaystyle f(x)=-26}
você determinou que o vértice estava em x=1{displaystyle x=1}
. Insira 1{displaystyle 1}
no x{displaystyle x}
da função para determinar o valor máximo:
- f(x)=−3x2+6x−4{displaystyle f(x)=-3x^{2}+6x-4}
- f(x)=−3(1)2+6(1)−4{displaystyle f(x)=-3(1)^{2}+6(1)-4}
- f(x)=−3+6−4{displaystyle f(x)=-3+6-4}
- f(x)=−1{displaystyle f(x)=-1}
5. lépés. Írja le az eredményeket
Tekintse át a feltett kérdést. Ha a csúcskoordinátákat kérték, meg kell jegyezni az x { displaystyle x} mindkét értékét
quanto de y{displaystyle y}
(ou f(x){displaystyle f(x)}
). Se, no entanto, foi pedido apenas o valor máximo ou mínimo, basta escrever o valor y{displaystyle y}
(ou f(x){displaystyle f(x)}
). Volte à definição do coeficiente a{displaystyle a}
para certificar-se da existência de um valor máximo ou mínimo.
- Para o primeiro exemplo, f(x)=x2+10x−1{displaystyle f(x)=x^{2}+10x-1}
- Para o segundo exemplo, f(x)=−3x2+6x−4{displaystyle f(x)=-3x^{2}+6x-4}
o valor de a{displaystyle a}
é positivo, de modo que você escreverá o valor mínimo. O vértice se encontra em (−5, −26){displaystyle (-5, -26)}
e o valor mínimo é −26{displaystyle -26}
o valor de a{displaystyle a}
é negativo e, por isso, você escreverá o valor máximo. O vértice se encontra em (1, −1){displaystyle (1, -1)}
e o valor máximo é −1{displaystyle -1}
Método 2 de 3: Usando a forma padrão ou do vértice
1. lépés. Írja fel a másodfokú függvényt szabványos formában, vagy csúcs alakban
Ez az alakzat, amelyet szabványos vagy csúcs alakzatnak neveznek, a következőképpen írható fel:
- f (x) = a (x-h) 2+k { displaystyle f (x) = a (x-h)^{2}+k}
- Se a sua função já foi dada nessa forma, basta reconhecer as variáveis a{displaystyle a}
- Para revisar como completar o quadrado leia este artigo.
h{displaystyle h}
e k{displaystyle k}
. Se a função começa na forma genérica f(x)=ax2+bx+c{displaystyle f(x)=ax^{2}+bx+c}
você deve completar o quadrado para reescrevê-la na forma do vértice.
2. lépés. Határozza meg a grafikon irányát
Akárcsak az általános formában írt másodfokú függvény esetében, a parabola irányát az a { displaystyle a} együtthatóval meg fogja ismerni
. Se a{displaystyle a}
nessa forma padrão, for positivo, a parábola estará voltada para cima. Se, por outro lado, a{displaystyle a}
for negativo, ela estará voltada para baixo. Observe os seguintes exemplos:
- Para f(x)=2(x+1)2−4{displaystyle f(x)=2(x+1)^{2}-4}
- Para f(x)=−3(x−2)2+2{displaystyle f(x)=-3(x-2)^{2}+2}
- Se a parábola estiver voltada para cima, você encontrará seu valor mínimo. Se, por outro lado, estiver voltada para baixo, o valor máximo será encontrado.
a=2{displaystyle a=2}
positivo, de modo que a parábola se abre para cima.
a=−3{displaystyle a=-3}
negativo, de modo que a parábola se abre para baixo.
3. lépés. Határozza meg a maximális vagy minimális értéket
Ha a függvény szabványos formában van írva, a maximális vagy minimális érték megtalálásához csak ismerje fel a k { displaystyle k} változó értékét
. Para os dois exemplos dados acima, esses valores são:
- Para f(x)=2(x+1)1−4{displaystyle f(x)=2(x+1)^{1}-4}
- Para f(x)=−3(x−2)2+2{displaystyle f(x)=-3(x-2)^{2}+2}
k=−4{displaystyle k=-4}
. Esse é o valor mínimo da função, pois a parábola se abre para cima.
k=2{displaystyle k=2}
. Esse é o valor máximo da função, porque a parábola se abre para baixo.
4. lépés. Határozza meg a csúcsot
Ha a maximális vagy minimális érték koordinátáit kéri, a pont a következő lesz: (h, k) { displaystyle (h, k)}
. No entanto, observe que, na forma padrão, o termo da equação que fica entre parênteses será (x−h){displaystyle (x-h)}
sendo necessário o sinal oposto do número que acompanha o x{displaystyle x}
- Para f(x)=2(x+1)2−4{displaystyle f(x)=2(x+1)^{2}-4}
- Para f(x)=−3(x−2)2+2{displaystyle f(x)=-3(x-2)^{2}+2}
o termo entre parênteses é (x+1){displaystyle (x+1)}
podendo ser reescrito como (x−(−1)){displaystyle (x-(-1))}
. Logo, h=−1{displaystyle h=-1}
. Dessa forma, as coordenadas do vértice dessa função serão (−1, −4){displaystyle (-1, -4)}
o termo entre parênteses é (x−2){displaystyle (x-2)}
. Logo, h=2{displaystyle h=2}
. As coordenadas do vértice serão (2, 2){displaystyle (2, 2)}
Método 3 de 3: Usando Cálculo para derivar o valor mínimo ou máximo
1. lépés: Kezdje az általános űrlappal
Írja be a másodfokú függvényt általános alakban: f (x) = ax2+bx+c { displaystyle f (x) = ax^{2}+bx+c}
. Se necessário, você talvez tenha que combinar termos semelhantes e reordená-los para o formato adequado.
- Inicie com a função de exemplo f(x)=2x2−4x+1{displaystyle f(x)=2x^{2}-4x+1}
2. lépés. Használja a teljesítményszabályt az első derivált megkereséséhez
Alapvető számítási elképzelésekkel az általános másodfokú függvény első deriváltja f ′ (x) = 2ax+b { displaystyle f '(x) = 2ax+b}
- Para a função de exemplo f(x)=2x2−4x+1{displaystyle f(x)=2x^{2}-4x+1}
- f′(x)=4x−4{displaystyle f'(x)=4x-4}
encontre a derivada:
3. lépés Állítsa a derivált értéket nullára
Ne feledje, hogy egy függvény deriváltja jelzi annak meredekségét az adott ponton. A függvény minimuma vagy maximuma létezik azon a ponton, ahol a meredekség nulla. Tehát, hogy megtudja, hol van, állítsa a deriváltot nullára. Folytassa a fenti példaproblémával:
- f ′ (x) = 4x − 4 { displaystyle f '(x) = 4x-4}
- 0=4x−4{displaystyle 0=4x-4}
4. lépés. Keresse meg x értékét
Használja az algebra alapvető szabályait a függvény átrendezéséhez, és keresse meg x értékét, amikor a derivált értéke nulla. Ez a megoldás a függvény csúcsának x-koordinátáját jelzi, ahol a maximum vagy a minimum lesz.
- 0 = 4x-4 { displaystyle 0 = 4x-4}
- 4=4x{displaystyle 4=4x}
- 1=x{displaystyle 1=x}
5. lépés. Írja be az x megoldott értékét az eredeti függvénybe
A függvény minimális vagy maximális értéke f (x) { displaystyle f (x)}
na posição x{displaystyle x}
selecionada. Insira o valor de x{displaystyle x}
na função original e resolva para encontrar o mínimo ou máximo.
- Para a função f(x)=2x2−4x+1{displaystyle f(x)=2x^{2}-4x+1}
- f(1)=2(1)2−4(1)+1{displaystyle f(1)=2(1)^{2}-4(1)+1}
- f(1)=2−4+1{displaystyle f(1)=2-4+1}
- f(1)=−1{displaystyle f(1)=-1}
em x=1{displaystyle x=1}
6. lépés. Írja le a megoldást
A megoldás megadja a csúcsértéket, vagy a maximális vagy minimális pontot. Ebben a példafunkcióban f (x) = 2x2−4x+1 { displaystyle f (x) = 2x^{2} -4x+1}
o vértice se encontra em (1, −1){displaystyle (1, -1)}
. o coeficiente a{displaystyle a}
é positivo e, desse modo, abre para cima. logo, o valor mínimo da função está no eixo y do vértice, que é igual a −1{displaystyle -1}
dicas
- o eixo de simetria da parábola é x=h{displaystyle x=h}
