5 módszer egyenértékű törtek készítésére

Tartalomjegyzék:

5 módszer egyenértékű törtek készítésére
5 módszer egyenértékű törtek készítésére

Videó: 5 módszer egyenértékű törtek készítésére

Videó: 5 módszer egyenértékű törtek készítésére
Videó: Hogyan oldj meg egyenleteket? | Egyszerűbb egyenletek 2024, Március
Anonim

Két tört akkor tekinthető egyenértékűnek, ha azonos értékű. A törtek egyenértékűvé alakításának ismerete alapvető matematikai készség, amelyet az alapvető algebratól a haladó számításig használnak. Ez a cikk az egyenértékű törtek kiszámításának különféle módjait tárgyalja, az alapvető szorzástól és osztástól a bonyolultabb feladatmegoldási módszerekig.

lépések

1. módszer az 5 -ből: egyenértékű frakciók kialakítása

Egyenértékű törtek keresése 1. lépés
Egyenértékű törtek keresése 1. lépés

1. lépés Szorozzuk meg a számlálót és a nevezőt ugyanazzal a számmal

Két különböző, de egyenértékű törtnek definíció szerint vannak számlálói és nevezői, amelyek mindegyike többszörösei. Más szóval, ha megszorozzuk a tört számlálóját és nevezőjét ugyanazzal a számmal, akkor egyenértékű törtet kapunk. Bár az új tört számai eltérőek, a törtek értéke azonos lesz.

  • Például, ha vesszük a 4/8 törtet, és megszorozzuk a számlálót és a nevezőt 2 -vel, akkor (4 × 2)/(8 × 2) = 8/16 értéket kapunk. Ez a két tört egyenértékű.
  • (4 × 2)/(8 × 2) lényegében 4/8 × 2/2. Ne feledje, hogy amikor két törtet megszorozunk, akkor keresztben szorozzunk, vagyis számlálóról számlálóra és nevezőről nevezőre.
  • Ne feledje, hogy a 2/2 az 1 -gyel egyenlő az osztás végrehajtásakor. Így könnyen belátható, hogy a 4/8 és a 8/16 miért egyenértékűek, mivel a 4/8 × (2/2) = 4/8 szorzat. Ugyanez mondható el a 4/8 = 8/16 esetében is.
  • Bármely tört végtelen számú egyenértékű törtet tartalmaz. Szorozhatja a számlálót és a nevezőt bármely egész számmal, legyen az akár kicsi, akár nagy, hogy egyenértékű törtet kapjon.
Keressen egyenértékű töredékeket 2. lépés
Keressen egyenértékű töredékeket 2. lépés

2. lépés. Oszd meg a számlálót és a nevezőt ugyanazzal a számmal

A szorzáshoz hasonlóan az osztás is használható a kezdeti törtével egyenértékű új tört megtalálására. Egyszerűen el kell osztani a tört számlálóját és nevezőjét ugyanazzal a számmal, hogy egyenértékű törtet kapjunk. Ennek a folyamatnak van egy pontja - a kapott törtnek egésznek kell lennie a számlálóban és a nevezőben is, hogy érvényesnek lehessen tekinteni.

Nézzük meg például ismét a 4/8 törtet. Ha szorzás helyett a számlálót és a nevezőt is elosztjuk 2 -vel, akkor a (4 ÷ 2)/(8 ÷ 2) = 2/4 értéket kapjuk. A 2 és a 4 is egész szám, tehát ez az egyenértékű tört érvényes

2. módszer az 5 -ből: Az alapvető szorzás használata az egyenértékűség meghatározásához

Keressen egyenértékű frakciókat 3. lépés
Keressen egyenértékű frakciókat 3. lépés

1. lépés Keresse meg azt a számot, amellyel a legkisebb nevezőt meg kell szorozni a legnagyobb nevező létrehozásához

Sok frakcióval kapcsolatos probléma magában foglalja annak meghatározását, hogy két tört egyenértékű-e. Ennek a számnak a kiszámításakor elkezdheti mindkét tört egyenlő feltételbe helyezését az egyenértékűség meghatározásához.

  • Vegyük például ismét a 4/8 és 8/16 törteket. A legkisebb nevező, 8, és ezt a számot meg kell szoroznunk 2 -vel, hogy a legnagyobb legyen, ami 16. Tehát a szám ebben az esetben 2.
  • Nehezebb számok esetén lehetséges a legnagyobb nevező egyszerű osztása a legkisebbel. Ebben az esetben a 16 -at el kell osztani 8 -mal, így 2 lesz.
  • A szám nem mindig lehet egész szám. Például, ha a nevezők 2 és 7 lennének, a kérdéses szám 3, 5 lenne.
Keressen egyenértékű töredékeket 4. lépés
Keressen egyenértékű töredékeket 4. lépés

2. lépés Szorozzuk meg a tört kisebb és kisebb számlálóját és nevezőjét az első lépésben szereplő számmal

A definíció szerint két különböző, de egyenértékű törtnek van a számlálók és a nevezők egymás többszörösei. Más szóval, ha megszorozzuk a tört számlálóját és nevezőjét ugyanazzal a számmal, akkor egyenértékű törtet kapunk. Bár az új tört számai eltérőek lesznek, a törtek értéke azonos lesz.

Például, ha az első lépésből a 4/8 törtet vesszük, és megszorozzuk a számlálót és a nevezőt is a korábban meghatározott 2 -es számmal, akkor (4 × 2)/(8 × 2) = 8/16 - így bizonyítva, hogy mindkét tört egyenértékű.

3. módszer az 5 -ből: Basic Division használata az egyenértékűség meghatározásához

Keressen egyenértékű töredékeket 5. lépés
Keressen egyenértékű töredékeket 5. lépés

1. lépés. Számítsa ki az egyes törteket tizedes számként

Változó nélküli egyszerű törtek esetén alapvetően az egyes törteket tizedes számként fejezheti ki az egyenértékűség meghatározása érdekében. Mivel minden töredék valóban osztási probléma a kezdetektől fogva, ez a legegyszerűbb módszer az egyenértékűség meghatározására.

  • Vegyük például a már használt 4/8. A 4/8 tört egyenlő a 4 számításával 8 -mal osztva, azaz 4/8 = 0,5. Megoldhatja a másik példát is, azaz 8/16 = 0,5. Törtek egyenértékűek, ha mindkét szám pontosan a tizedes formában kifejezve.
  • Ne feledje, hogy a tizedes kifejezés több számjegyig tarthat, mielőtt az eltérés nyilvánvalóvá válik. Alapvető példa: 1/3 = 0, 333, míg 3/10 = 0, 3. Egynél több számjegy használata esetén látható, hogy a két egyenlet nem egyenértékű.
Keressen egyenértékű frakciókat 6. lépés
Keressen egyenértékű frakciókat 6. lépés

Lépés 2. Oszd meg a tört számlálóját és nevezőjét ugyanazzal a számmal, hogy ekvivalens törtet kapj

Bonyolultabb törtek esetén az osztási módszer további lépéseket igényel. A szorzási módszerhez hasonlóan a tört számlálóját és nevezőjét is el lehet osztani ugyanazzal a számmal, hogy egyenértékű törtet kapjunk. Ennek a folyamatnak van egy titka. Az eredményül kapott törtnek egész számokkal kell rendelkeznie a számlálóban és a nevezőben is, hogy érvényes legyen.

Nézzük meg például ismét a 4/8 törtet. Ha ahelyett, hogy megszoroznánk őket, elosztjuk a számlálót és a nevezőt 2 -vel, akkor (4 ÷ 2)/(8 ÷ 2) = 2/4. A 2. és a 4. egész szám, tehát ez az egyenértékű tört érvényes.

Keresse meg az egyenértékű frakciókat 7. lépés
Keresse meg az egyenértékű frakciókat 7. lépés

Lépés 3. Csökkentse a törteket a minimális feltételekre

A legtöbb törtet általában a minimális kifejezésekben kell kifejezni, és lehetségessé válik, hogy ezekre a minimális kifejezésekre alakítsuk át, elosztva őket a legnagyobb közös tényezővel (MFC). Ez a lépés ugyanazt a logikát használja az ekvivalens törtek kifejezésekor azáltal, hogy ugyanazzá nevezővé alakítja át őket, de ez a módszer arra törekszik, hogy minden egyes töredéket a minimális kifejezhető tagokra csökkentsen.

  • Ha egy tört legegyszerűbben fogalmaz, akkor a számlálója és a nevezője is olyan kicsi, amennyire csak lehet, és egyik sem osztható egész számmal, hogy kisebb számot kapjunk. Ahhoz, hogy a legegyszerűbb kifejezésekkel nem rendelkező törtet alakítsuk át olyanra, amelyre osztjuk a számlálót és a nevezőt a legnagyobb közös tényezőjükkel.
  • A számláló és a nevező legnagyobb közös tényezője (MFC) megegyezik a legnagyobb számmal, amely megosztja mindkettőt, hogy egész eredményt kapjon. Így 4/8 -as példányunkban, mivel

    4. lépés. a legnagyobb szám, amely osztja mind a 4 -et, mind a 8 -at, a történek számlálóját és nevezőjét elosztjuk 4 -gyel, hogy megkapjuk a legegyszerűbb kifejezéseket: (4 ÷ 4)/(8 ÷ 4) = 1/2. A másik példában, a 8/16 -ban az MFC 8, vagyis a 1/2 legegyszerűbb kifejezéseként az 1/2 eredményhez is eljutunk.

4. módszer az 5 -ből: Keresztszorzás használata egy változó megoldásához

Keresse meg az egyenértékű frakciókat 8. lépés
Keresse meg az egyenértékű frakciókat 8. lépés

1. lépés Párosítsa a két törtet

Kereszt-szorzást használunk matematikai feladatokban, amelyekről tudjuk, hogy egyenértékűek, de ahol az egyik szám egyikét felváltotta egy változó (általában x), amelyet meg kell oldani. Ilyen esetekben tudjuk, hogy a törtek ekvivalensek, mivel ezek az egyetlen kifejezések az egyenlőségjel ellentétes oldalán, de ez a felbontás nem mindig nyilvánvaló. Szerencsére a keresztszorzásban a problémák megoldása egyszerű.

Keresse meg az egyenértékű törteket 9. lépés
Keresse meg az egyenértékű törteket 9. lépés

2. lépés Vegye ki mindkét egyenértékű törtet, és szorozza meg keresztben, „X” alakban

Más szóval, meg kell szorozni az egyik tört számlálóját a másik nevezőjével, és fordítva, majd e két választ egymással egyenlőnek találni és megoldani a problémát.

Vegyük a két példát: 4/8 és 8/16. Nem tartalmaznak változót, de lehetséges a koncepció bizonyítása, mivel már tudjuk, hogy egyenértékűek. Keresztszorzással azt kapjuk, hogy 4 × 16 = 9 × 9, vagy 64 = 64, ami vitathatatlanul igaz. Ha a két szám nem azonos, a törtek nem egyenértékűek

Keressen egyenértékű frakciókat 10. lépés
Keressen egyenértékű frakciókat 10. lépés

3. lépés. Adjon meg egy változót

Mivel a keresztszorzás a legegyszerűbb módja az egyenértékű törtek meghatározásának egy változó megoldásakor, vezessünk be egy ismeretlent.

  • Vegyük például a 2/x = 10/13 egyenletet. A keresztszorzáshoz szorozzunk 2-t 13-mal és 10-et x-el, majd a válaszokat egyenlővé tesszük egymással:

    • 2×13 = 26
    • 10 × x = 10x
    • 10x = 26

      Innentől kezdve a változóra adott válasz egyszerű algebra kérdése. X = 10/26 = 2, 6, a kezdeti ekvivalens törteket 2/2, 6 = 10/13 -ként definiálva.

Keressen egyenértékű töredékeket 11. lépés
Keressen egyenértékű töredékeket 11. lépés

4. lépés. Keresztszorzást használjon több változót tartalmazó egyenletekben vagy ismeretlen kifejezésekben

Az egyik legjobb dolog a keresztszorzásban az a tény, hogy lényegében ugyanúgy működik, akár két egyszerű tört (mint fent), akár összetettebb törtekkel van dolgában. Például, ha mindkét frakció tartalmaz változókat, akkor azokat csak a feloldási folyamat végén kell megszüntetni. Hasonlóképpen, ha a törtek számlálói vagy nevezői változókkal rendelkező kifejezéseket tartalmaznak (például x+1), akkor csak „szorozzunk” az elosztási tulajdonságon keresztül, és oldjuk meg őket normálisan.

  • Vegyük például a [(x+3)/2] = [(x+1)/4)] egyenletet. Ebben az esetben, mint korábban, keresztszorzással oldjuk meg:

    • (x+3) × 4 = 4x+12
    • (x+1) × 2 = 2x+2
    • 2x+2 = 4x+12

      Egyszerűsítjük az egyenletet, ha mindkét oldalról 2x kivonunk

    • 2 = 2x+12

      Itt elkülönítjük a változót úgy, hogy mindkét oldalról kivonunk 12 -et

    • -10 = 2x

      Mindkét számot elosztjuk 2 -gyel az x feloldásához

    • - 5 = x

5. módszer az 5 -ből: A másodfokú képlet használata változók megoldására

Keressen egyenértékű töredékeket 12. lépés
Keressen egyenértékű töredékeket 12. lépés

1. lépés Szorozzuk meg a két törtet keresztben

A másodfokú képletet igénylő egyenértékűségi feladatokban továbbra is keresztszorzással kezdjük. Azonban minden olyan szorzás, amely magában foglalja a változó kifejezések más változókkal való megszorzását, valószínűleg olyan kifejezést eredményez, amelyet tiszta algebrával nem lehet könnyen megoldani. Ilyen esetekben szükség lehet olyan technikák használatára, mint a faktorizáció és a másodfokú képletek.

  • Nézzük például a [(x+1)/3] = [4/(2x-2)] egyenletet. Kezdetben keresztszorzást hajtunk végre:

    • (x+1) × (2x-2) = 2x2+2x-2x-2 = 2x2-2
    • 4×3 = 12
    • 2x2-2 = 12
Keressen egyenértékű frakciókat 13. lépés
Keressen egyenértékű frakciókat 13. lépés

2. lépés Fejezze ki az egyenletet másodfokú egyenletként

Ezen a ponton szeretnénk ezt az egyenletet másodfokú formában kifejezni (ax2+bx+c = 0), amit nullára állítva tehetünk meg. Ebben az esetben levonunk 12 -t mindkét oldalról, hogy 2x kapjunk2-14 = 0.

Néhány érték egyenlő lehet 0. Bár 2x2-14 = 0 a legegyszerűbb forma az egyenlethez, a valódi másodfokú egyenletet 2x jelzi2+0x+(-14) = 0. Segít megnézni az egyenlet másodfokú formáját akkor is, ha egyes értékei 0-val egyenlők.

Keressen egyenértékű töredékeket 14. lépés
Keressen egyenértékű töredékeket 14. lépés

3. lépés. Oldja meg az egyenlet számának a másodfokú képletbe való beírásával

A másodfokú képlet x = [-b ± √ (b2-4ac)]/2a segít kitalálni az x értéket. Ne ijedjen meg a képlet méretétől. Egyszerűen leveszi a másodfokú egyenlet értékeit a második lépésből, és megadja azokat a megfelelő pontokon, mielőtt megoldja.

  • [x = (-b ± √ (b)2-4ac)]/2a

    Egyenletünkben 2x2-14 = 0, a = 2, b = 0 és c = -14.

  • x = [-0 ± √ (02-4(2)(-14))]/2(2)
  • x = [± √ (0-(-112))]/2 (2)
  • x = [± 112]/2 (2)
  • x = ± 10, 58/4
  • x = ±2, 64
Keresse meg az egyenértékű frakciókat 15. lépés
Keresse meg az egyenértékű frakciókat 15. lépés

4. lépés: Ellenőrizze a választ úgy, hogy az x értéket visszaírja a másodfokú egyenletbe

Ha a számított értéket a második lépéstől a másodfokú egyenletbe írja be, könnyen meghatározhatja, hogy helyes választ kapott -e. Ebben a példában a 2, 64 és -2, 64 értékeket is a másodfokú egyenletbe helyezi.

Tippek

  • A törtek ekvivalens formára való konvertálása az 1 -gyel való megszorzás módja. Ha 1/2 -t 2/4 -re konvertálunk, a számlálót és a nevezőt 2 -gyel megszorozzuk, mint az 1/2 -et 2/2 -gyel.
  • Ha úgy tetszik, alakítsa át a vegyes számokat nem megfelelő törtekre, hogy megkönnyítse az átváltást. Nyilvánvaló, hogy nem minden tört konvertálása lesz olyan egyszerű, mint a fenti 4/8 példa. Például a vegyes számok (például 1 3/4, 2 5/8, 5 2/3 stb.) Kicsit bonyolultabbá tehetik az átalakítási folyamatot. Ha egy vegyes számot ekvivalens törtre kell konvertálnia, akkor kétféleképpen teheti meg: alakítsa át a vegyes számot nem megfelelő frakcióvá, és alakítsa át normálisan vagy megtartva a vegyes számot, és vegyes számot kapva válaszul.

    • Ha nem megfelelő törtre szeretné konvertálni, szorozza meg az egész komponenst a tört összetevő nevezőjével, és adja hozzá a számlálóhoz. Például 1 2/3 = [(1 × 3) +2]/3 = 5/3. Ezután, ha úgy tetszik, szabadon konvertálhatja. Például 5/x × 2/2 = 10/6, ami 1 2/3 -nak felel meg.
    • Nem szükséges azonban a fent leírt módon nem megfelelő frakcióvá alakítani. Ha nem tesszük, figyelmen kívül hagyjuk az egész szám összetevőt, átalakítjuk az izolált tört komponenst, majd hozzáadjuk a változatlan egész komponenst. Például a 3 4/16 esetében csak a 4/16 -ot fogjuk nézni. 4/16 ÷ 4/4 = 1/4. Tehát amikor hozzáadjuk az egész szám összetevőt, új vegyes számot kapunk, ill 3 1/4.

Értesítések

  • A szorzás és osztás azzal dolgozik, hogy ekvivalens törteket kapunk, mert az 1 -es számok töredékformáival való szorzás és osztás (2/2, 3/3 stb.) Értelemszerűen olyan válaszokat eredményez, mint a kezdeti tört. Összeadás és kivonás nem teszi lehetővé ezt a lehetőséget.
  • Bár a törteket szorozva megszámoljuk a számlálókat és a nevezőket, a törtek összeadásakor vagy kivonásakor nem adhatunk hozzá vagy vonhatunk le nevezőket.

    Például fent azt találtuk, hogy 4/8 ÷ 4/4 = 1/2. Ha helyette hozzáadunk 4/4, akkor teljesen más választ kapunk: 4/8+4/4 = 4/8+8/8 = 12/8 = 1 1/2 vagy 3/2, amelyek egyike sem egyenlő 4/8 -al.

Ajánlott: